Comprendere la Divergenza e il Rotore: Concetti Chiave del Calcolo Vettoriale

So che non è il primo pensiero che  viene in mente al mattino per iniziare bene la giornata, ma devo confessare che per me oggi è stato così: stavo giocando con delle calamite e mi sono piano piano immerso nel gioco a tal punto da  immaginare le linee di flusso del campo magnetico;  da li il salto è stato automatico ed ho iniziato a pensare al tempo in cui ancora studiavo cose serie il tempo di Fisica II e delle equazione di Maxwell. Non vi nascondo che ho sempre avuto una difficoltà nel memorizzare modelli matematici senza associarli o ricondurli a cose reali ed per questo motivo che ho deciso di scrivere questo articolo, con lo scopo di spiegare e demistificare non solo le equazioni ma anche gli strumenti matematici alla base: la divergenza ed il rotore,  due concetti fondamentali nel calcolo vettoriale che trovano una delle loro applicazioni più emblematiche proprio nelle equazioni di Maxwell.

Come noto, le equazioni di Maxwell descrivono il comportamento dei campi elettrici e magnetici e rappresentano un esempio perfetto di come la matematica possa modellare e spiegare fenomeni fisici complessi. Ecco le leggi per eccellenza:

Legge di Gauss per l’elettricità (Divergenza del campo elettrico),

Legge di Ampère-Maxwell (Rotore del campo magnetico),

Partiamo dall’analisi e dalla comprensione degli strumenti matematici:

Divergenza

La divergenza di un campo vettoriale misura quanto un campo “si disperde” o “si accumula” in un punto. Se pensi a un campo vettoriale come al movimento dell’acqua, la divergenza ti dice se in una certa zona l’acqua tende ad accumularsi (divergenza positiva) o a disperdersi (divergenza negativa).

Rotore

Il rotore di un campo vettoriale misura quanto il campo “ruota” o “vortica” attorno a un punto. Se pensi a un campo vettoriale come al vento, il rotore ti dice se c’è una sorta di movimento circolare, come un tornado o un vortice. Immagina di guardare l’acqua che ruota in un lavandino mentre lo stai svuotando. In questo caso, l’acqua si muove in cerchi attorno al buco del lavandino. Questo movimento circolare è un esempio di rotore. Se invece l’acqua si muovesse in linea retta, senza girare, il rotore in quella zona sarebbe zero perché non c’è nessuna rotazione.

Il rotore è un operatore che agisce su un campo vettoriale e restituisce un altro campo vettoriale. Formalmente, il rotore di un campo vettoriale

F=(Fx​, Fy​, Fz​) in uno spazio tridimensionale è definito come:

Dove:

$\nabla \times$ rappresenta l’operatore rotore.

F è il campo vettoriale. Le espressioni all’interno delle parentesi rappresentano le componenti vettoriali del rotore.

Alla luce di quanto detto proviamo a rileggere  le equazioni di Maxwell cercando di semplificarne il concetto.

1° Equazione di Maxwell: Legge di Gauss per l’elettricità

$$\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}$$

Questa equazione ci dice come le cariche elettriche creano un campo elettrico. Per comprendere il fenomeno descritto dall’equazione  ipotizziamo di rappresentare la carica elettrica  come un palloncino pieno d’acqua, dove l’acqua rappresenta il campo elettrico che si irradia dalla carica posta al centro del palloncino. Se forassimo il palloncino, l’acqua uscirebbe in tutte le direzioni. In termini matematici, questo comportamento è descritto dalla divergenza del campo elettrico ($\nabla \cdot \mathbf{E}$). La divergenza come già detto misura, infatti,  quanto “flusso” esce da una regione; nel caso di una carica positiva, il flusso è diretto verso l’esterno, mentre nel caso di una carica negativa, il flusso è diretto verso l’interno.

2° Equazione di Maxwell:  La Legge di Gauss per il Magnetismo

$$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$$

Questa equazione afferma che, a differenza delle cariche elettriche, non esistono “monopoli magnetici” (equivalenti magnetici delle cariche elettriche). In altre parole, le linee del campo magnetico non iniziano né terminano, ma formano sempre circuiti chiusi. È come se non potessi mai avere un palloncino con acqua che esce da un solo foro; l’acqua (campo magnetico) deve sempre ritornare da qualche altra parte. Questa è la ragione per cui i poli nord e sud di un magnete sono inseparabili.

3° Equazione di Maxwell: La Legge di Faraday dell’Induzione

$$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$$

Questa equazione descrive come un campo magnetico variabile nel tempo genera un campo elettrico. Pensa ad un campo magnetico come ad una sorgente di energia che può “spingere” le cariche elettriche a muoversi, creando un campo elettrico. Immagina, ad esempio, una bicicletta con una dinamo: quando la ruota (che rappresenta il campo magnetico) gira, essa genera una corrente elettrica che accende la luce. In termini matematici, il rotore ($\nabla \times \mathbf{E}$) descrive come il campo elettrico “vortica” in risposta a un cambiamento nel campo magnetico.

4° Equazione di Maxwell: La Legge di Ampère-Maxwell

$$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$$

Questa equazione mostra come i campi magnetici possono essere generati sia da correnti elettriche che da campi elettrici variabili nel tempo. Se hai mai avvolto un filo attorno a un chiodo di ferro e lo hai collegato a una batteria per creare un elettromagnete, hai già sperimentato la prima parte di questa equazione. La corrente elettrica ($\mathbf{J}$) che scorre nel filo crea un campo magnetico attorno al chiodo, ma c’è di più: anche un campo elettrico che cambia nel tempo può generare un campo magnetico, ad esempio se prendi una calamita e la muovi nello spazio in prossimità di una spira si genera una corrente indotta nella spira.